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设α为n维列向量,α^Tα=1,方阵A=E-αα^T,证明R(A)<n?

来源:搜狗问问 编辑:张华

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设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是正交矩阵

用A'表示A的转置,由于A=αβ',故Aα=αβ'α,注意β‘α为一个数(因为β’是1*n矩阵,α是n*1矩阵,二者相乘为1*1矩阵,即一个数),令λ=β‘α,则有Aα=λα,根据特征向量的定义,可知α

证明:因为 A=E-2αα^T/(α^Tα) 所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα) 所以 AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)] E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tα...

设a为n维列向量,且a∧Ta=1,矩阵A=E-aa∧T,证明A的行列式等于0

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设α为n维列向量,α^Tα=1,方阵A=E-αα^T,试证|A|=0

右乘α 得 Aα=α-αα'α=α-α=0 下面反证 A为方阵,假设|A|≠0 则A可逆 即 α=0;这明显与α‘α=1矛盾 假设不成立 故|A|=0

(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证:det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A)

(1)考虑分块矩阵的行列式|H|= A α β^T-1 第2行减第1行的 β^TA,得 A α 0-1-β^TA^-1α 所以|H|=-(1+βTA^-1α)|A|. 另一方面,H|第1行加第2...因为 r(A^TA)=r(A)=r A^TA是r阶方阵 故 det(ATA)≠0.

设αβ为n维非零列向量,若a=αβ∧T证明α为a的一个特征向量

用A'表示A的转置,由于A=αβ',故Aα=αβ'α,注意β‘α为一个数(因为β’是1*n矩阵,α是n*1矩阵,二者相乘为1*1矩阵,即一个数),令λ=β‘α,则有Aα=λα,根据特征向量的定义,可知α...

设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若Aα≠0,但A2α=0,证明:向量组α,Aα线性无关

证明:设k1α+k2Aα=0,(*) 则 k1Aα+k2A2α=0 由A2α=0,得 k1Aα=0 而Aα≠0 因此k1=0 代入(*),得 k2Aα=0 再次由Aα≠0,得k2=0 向量组α,Aα线性无关.

证明:因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以 AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)E所以A是正交矩阵内容来自www.179s.com请勿采集。

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