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π值的计算为何被称为“马拉松计算”?

来源:新浪爱问 编辑:从大磊

古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前,圆周率的计算进展相当缓慢,十九世纪后,计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪,可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机,人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。历史上最马拉松式的计算,其一是德国的Ludolph Van Ceulen,他几乎耗尽了一生的时间,计算到圆的内接正262边形,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolph数;其二是英国的William Shanks,他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了。把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圆周率值,来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年Lambert证明了圆周率是无理数,1882年Lindemann证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。现在的人计算圆周率,多数是为了验证计算机的计算能力,还有,就是为了兴趣。圆周率的计算方法 古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了。1、Machin公式 http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247046.gifhttp://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247047.gif这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中,Machin公式似乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,Machin公式就力不从心了。下面介绍的算法,在PC机上计算大约一天时间,就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算,要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。2、Ramanujan公式 http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247048.gif 1914年,印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式,这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。1989年,David Gregory Chudnovsky兄弟将Ramanujan公式改良成为:http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247049.gif这个公式被称为Chudnovsky公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年Chudnovsky兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。Chudnovsky公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247050.gif 3AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法 Gauss-Legendre公式:初值:http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247051.gif重复计算:http://www.pep.com.cn/images/200503/pic_247052.gif最后计算:http://www.pep.com.cn/images/200503www.179s.com防采集请勿采集本网。

  圆的周长与直径之比就是人们常说的圆 周率,它是一个常数,记为π。人类从公元前 2世纪就开始计算它的值,一直算到今天。虽然现在它的数值已经精确到小数点后数亿 位,可以印成厚达百万页的书,却仍然只是一 个近似值。因此,人们称π值的计算为科学 史上的“马拉松”。

历史上最马拉松式的人手π值计算,其一是德国的鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen),他几乎耗尽了一生的时间,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolphine number;

  公元460年,中国南朝的祖冲之算得π值为3。1415926,他是世界上最早把π值精 确到小数点后第7位的科学家。他还找到了 22/7和355/113两个近似于π的分数值。 这两个分数化为小数的值虽不如他算得的π值准确,但用分数代替π可使计算变得简单,直到1000多年后西方人才采用这个 方法。

历史上最马拉松式的人手π值计算,其一是德国的鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen),他几乎耗尽了一生的时间,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolphine number。

  

1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度.1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,

  

1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度.1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,

德国数学家卢道夫经过艰苦努力,终于把 π值精确到小数点后第35位。他逝世后人们为他立了一座碑,上面刻着他所计算到的π值 =3。14159265358979323846246338327950288以示纪念,同时,还给这个数取了一个新名 字,叫作“卢道夫数”。

圆的周长与直径之比是一个常数,人们称之为圆周率,记为π。为了计算出它的值,人类从公元前2世纪开始,一直算到今天,虽然获得了数亿位,可以印成厚达百万页的书的数,却仍然是一个近似值。因此,人们把关于π的计算,称为科学史上的“马拉松”。关于π的值,较早见于公元前2世纪中国的《周髀算经》,里面有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为10(约为3.16)。第一个用正确方法计算得π的,是魏晋时期的刘徽,在公元263年,他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近于圆的面积的方法,算得π的值约为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后,西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献,将3.14称为徽率。公元前460年南朝的祖冲之仍采用刘徽的制圆术,算得的π为3.1415926,这是世界上获得的第一个具有七位小数的圆周率。祖冲之还找到了两个近似于π的分数值:227和355113。这两个分数化为小数,其值虽不如他算得的小数值准确,但用分数来代替π,在计算上简单,这种思想西方人直到一千多年后才产生。祖冲之取得的这个π值,保持了一千多年的世纪记录。1596年荷兰数学家卢道夫经过长期艰苦的努力,算得了具有15位小数的π,以后他把这个数推进到35位。1610年他逝世时,人们给他立了一块奇特的墓碑,上面刻有他算的π值:3.14159265358979323846264338327950288,以示纪念,并把这个数称为“卢道夫数”。从此之后,西方数学家计算π的工作,有了飞速的进展。1948年1月,弗格森与雷思奇合作,才算得正确的808位小数的π值。但这种计算依然费时费力,直到电子计算机问世后,对于π的人工计算才告结束。20世纪50年代,人们用计算机算得了10万位小数的π,70年代又刷新到150万位。1990年,美国数学家采用新的计算方法,算到π值已到4.8亿位内容来自www.179s.com请勿采集。

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www.179s.com false 互联网 http://www.179s.com/n/1t08i1tw/1T08I1Tw2bfK8H.html report 4418   圆的周长与直径之比就是人们常说的圆 周率,它是一个常数,记为π。人类从公元前 2世纪就开始计算它的值,一直算到今天。虽然现在它的数值已经精确到小数点后数亿 位,可以印成厚达百万页的书,却仍然只是一 个近似值。因此,人们称π值的计算为科学 史上的“马拉松”。  公元460年,中国南朝的祖冲之算得π值为3。1415926,他是世界上最早把π值精 确到小数点后第7位的科学家。他还找到了 22/7和355/113两个近似于π的分数值。 这两个分数化为小数的值虽不如他算得

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